2018考研数学2真题难点解析：数量部分核心问题深度剖析

2018年的考研数学2真题在数量关系中考察了多方面知识点，不少考生在答题过程中遇到了各种难题。本文将针对数量部分的三道典型问题进行详细解析，帮助考生理解解题思路，掌握核心考点，为后续备考提供参考。

数量部分常见问题解答

问题一：关于函数零点存在性的证明

在2018年数学2真题中，有一道大题考察了函数零点存在性的证明，不少考生在理解题意和选择证明方法时感到困惑。这道题要求证明某个函数在特定区间内存在零点，需要结合介值定理和连续性进行分析。具体来说，题目给出了一个分段函数，要求证明它在某两个点之间有零点。

解答这类问题时，首先要明确介值定理的条件：如果函数在闭区间上连续，且在区间两端点的函数值异号，那么在该区间内至少存在一个零点。接下来，考生需要仔细分析函数的性质，判断其是否连续，并验证两端点是否异号。有时还需要通过导数分析函数的单调性，进一步缩小零点存在的范围。例如，可以通过求导数找到函数的极值点，结合极值点的函数值判断零点的具体位置。这种证明方法不仅考察了考生对介值定理的理解，还测试了其逻辑推理和计算能力。

问题二：关于定积分的计算技巧

2018年数学2真题中有一道定积分计算题，涉及分部积分法和换元积分法的综合运用。这道题的难点在于积分区间较为复杂，且被积函数中含有三角函数和多项式的组合，不少考生在计算过程中出现了错误。解答这类问题时，考生需要灵活运用各种积分技巧，并注意积分的边界条件。

具体来说，分部积分法通常适用于被积函数为两个不同类型函数的乘积，如三角函数与多项式的乘积。通过选择合适的分部公式，可以将复杂的积分转化为较简单的积分。换元积分法则适用于被积函数中含有根式或复合函数的情况，通过适当的变量替换，可以简化积分表达式。在计算过程中，考生还需要注意积分的对称性和周期性，有时可以利用这些性质简化计算过程。例如，如果积分区间关于原点对称，且被积函数为奇函数，那么定积分的值为零。这种题目不仅考察了考生对积分方法的掌握，还测试了其计算能力和灵活性。

问题三：关于微分方程的求解方法

2018年数学2真题中有一道微分方程求解题，要求考生求解一个二阶线性微分方程。这道题的难点在于方程的齐次性和非齐次性部分较为复杂，需要考生熟练掌握各种求解方法。解答这类问题时，考生需要首先判断微分方程的类型，然后选择合适的求解方法。

对于二阶线性微分方程，通常采用特征方程法进行求解。具体来说，将微分方程转化为特征方程，通过求解特征方程得到特征根，再根据特征根的形式写出通解。如果特征根为实数，通解为指数函数的线性组合；如果特征根为复数，通解为三角函数的线性组合。对于非齐次微分方程，还需要找到特解，通常采用待定系数法或常数变易法。在求解过程中，考生还需要注意初始条件的应用，通过初始条件确定通解中的任意常数。这种题目不仅考察了考生对微分方程理论的掌握，还测试了其计算能力和逻辑推理能力。