考研数学复习题：极限与连续章节常见问题深度解析

在考研数学的复习过程中，极限与连续是基础且关键的一章，也是很多考生容易混淆和出错的部分。这一章节不仅涉及复杂的计算，还考察对概念的深刻理解。为了帮助考生更好地掌握这一内容，我们整理了几个常见的疑问点，并提供了详细的解答。这些问题涵盖了极限的定义、性质、计算方法以及连续性的判断等多个方面，希望能够帮助大家扫清学习中的障碍。以下是对这些问题的具体解析。

问题一：如何准确理解极限的ε-δ语言定义？

极限的ε-δ语言定义是考研数学中的核心概念，很多同学在初次接触时会感到困惑。其实，这个定义的核心思想是通过ε（任意小的正数）和δ（与ε相关的正数）来描述函数在某点附近的变化趋势。具体来说，如果对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得当自变量x的值在某个邻域内（但不等于a）时，函数f(x)的值与A的差的绝对值小于ε，那么我们就说当x趋近于a时，f(x)的极限是A。

举个例子，比如我们要证明当x趋近于2时，函数f(x)=3x+1的极限是7。根据ε-δ定义，我们需要证明对于任意ε>0，都存在一个δ>0，使得当x-2<δ时，f(x)-7<ε。具体来说，f(x)-7=3x+1-7=3x-2。为了使这个值小于ε，我们可以选择δ=ε/3。这样，当x-2<δ时，f(x)-7<ε就成立了。这个例子展示了ε-δ定义的具体应用过程，关键在于找到合适的δ与ε之间的关系。

问题二：极限存在与左右极限存在的关系是什么？

极限存在的一个必要条件是左右极限同时存在且相等。如果函数在某点的左极限和右极限存在但不相等，那么该点的极限就不存在。比如，考虑函数f(x)={x+1, x>0; x-1, x<0