考研841自动控制原理核心考点深度解析

在考研841自动控制原理的备考过程中，许多考生会遇到一些难以理解的难点和易混淆的概念。为了帮助大家更好地掌握这门课程的核心知识，我们整理了几个常见问题，并提供了详细的解答。这些问题涵盖了系统稳定性分析、传递函数求解、状态空间法等多个重要考点，通过实际案例和理论推导，帮助考生深入理解自动控制原理的精髓。无论是初学者还是有一定基础的考生，都能从中找到适合自己的学习方法和解题技巧。

问题一：什么是劳斯判据？如何应用劳斯判据判断系统的稳定性？

劳斯判据是自动控制原理中判断线性定常系统稳定性的重要工具，它通过将系统的特征方程系数排列成劳斯表，从而无需求解特征根就能确定系统是否稳定。具体来说，劳斯判据的步骤如下：

1. 写出系统的特征方程，确保所有项均为s的多项式。
2. 然后，根据特征方程的系数构造劳斯表。表的第1列为特征方程系数，第2列为系数的负倒数，之后每一列的元素通过前两列的交叉乘积差计算得到。
3. 观察劳斯表的第1列，如果所有元素均为正数，则系统完全稳定；如果第1列出现负数，则系统不稳定；如果第1列出现零，则用无穷小替代该零值继续计算。
4. 劳斯表中第1列负数的个数对应系统在s右半平面的根的个数，从而判断系统的稳定性。

例如，对于特征方程s3 + 2s2 + 3s + 4 = 0，其劳斯表为：

由于第1列存在负数，说明系统不稳定，且负数个数为1，对应s右半平面有一个根。劳斯判据特别适用于高阶系统稳定性分析，但需要注意其局限性，比如当系统存在重根时可能需要特殊处理。

问题二：传递函数和状态空间表达式有什么区别？如何相互转换？

传递函数和状态空间表达式是自动控制原理中描述系统动态特性的两种不同数学工具，它们各有特点且可以相互转换。传递函数主要用于分析系统的输入输出关系，是频域分析的基础；而状态空间表达式则提供了一种时域描述方法，能够全面反映系统的内部状态。

传递函数和状态空间表达式的主要区别体现在以下几个方面：

• 传递函数只关注系统的输入输出关系，无法反映系统的内部状态；而状态空间表达式既描述输入输出，又包含系统内部状态变量。
• 传递函数适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统需要使用传递函数矩阵；状态空间表达式则自然适用于多输入多输出系统。
• 传递函数基于频域分析，而状态空间表达式基于时域分析，两者在系统稳定性判断方法上也有所不同。

将传递函数转换为状态空间表达式有多种方法，其中最常用的是对角标准形和约当标准形。以传递函数G(s) = (s+2)/(s2+3s+2)为例，其状态空间表达式可以表示为：

dx/dt = [-2 -1]x + [0 1]u

y = [1 0]x + [0 1]u

其中x为状态向量，u为输入向量，y为输出向量。这种转换通常需要选择合适的坐标系，如可控标准形、观测标准形或对角标准形等。

问题三：如何判断线性系统的可控性和可观测性？这两个概念有什么实际意义？

可控性和可观测性是自动控制原理中描述系统状态特性的重要概念，它们分别反映了系统输入对状态的影响以及状态对输出的影响。一个系统如果不可控或不可观测，就无法通过输入或输出完全控制或了解其内部状态，这在实际控制系统中是致命的缺陷。

判断线性系统的可控性通常使用可控性矩阵，对于状态空间表达式为Ax = Bu的系统，其可控性矩阵为：

Δ = [B AB A2B ... A(n-1)B]

如果Δ的秩等于系统阶数n，则系统完全可控；否则系统不可控。类似地，可观测性使用可观测性矩阵：

Ω = [C? A?B? ... (A(n-1))?B?]

如果Ω的秩等于n，则系统完全可观测。以二阶系统为例，如果可控性矩阵的秩为2，说明可以通过输入完全控制系统的状态；如果可观测性矩阵的秩为2，说明可以通过输出完全了解系统的状态。

这两个概念的实际意义非常重大。在工程设计中，不可控系统无法实现期望的控制效果，即使设计了完美的控制器也无法使系统稳定；不可观测系统则无法通过输出反馈进行控制，因为输出信息不足以反映系统状态。因此，在设计和调试控制系统时，必须首先验证系统的可控性和可观测性。例如，在导弹控制系统中，如果系统不可控，就无法通过发动机推力调整导弹的飞行轨迹；如果系统不可观测，就无法通过传感器数据判断导弹的状态，导致控制失败。