考研数学二2015年真题第14题深度解析与常见误区辨析

2015年考研数学二第14题是一道关于函数零点与微分中值定理的综合题，题目以抽象函数为载体，考查了考生对介值定理、罗尔定理以及函数单调性的理解与应用能力。该题难度适中，但不少考生在解题过程中容易陷入误区，导致计算错误或逻辑混乱。本文将结合历年考生的常见错误，系统梳理解题思路，并提供详尽的步骤解析，帮助考生彻底掌握该类问题的解题方法。

常见问题与答案

问题1：如何准确理解题目的条件与结论？

很多考生在看到题目时，第一反应是直接套用某个定理，但实际上并没有仔细分析题目的条件。比如，题目中给出的条件是“函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导”，以及“f(a) = f(b)”，这些条件暗示我们可以考虑罗尔定理。但部分考生会忽略“f(x)在(a,b)内可导”这一关键信息，导致在推理过程中出现逻辑跳跃。正确的理解应该是：由于f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，根据罗尔定理，必然存在一个点c ∈ (a,b)，使得f'(c) = 0。这是整个解题的基础，如果这一步理解错误，后续的推导都将无从谈起。

问题2：在证明f'(c) = 0时，为什么不能直接使用介值定理？

有些考生尝试用介值定理来证明f'(c) = 0，但实际上介值定理适用于连续函数在某个区间内取到所有中间值，而f'(x)并不一定连续。题目中虽然给出了f(x)在(a,b)内可导，但这并不代表f'(x)在(a,b)内连续。因此，直接套用介值定理是不合理的。正确的做法是，既然f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，根据罗尔定理，必然存在c ∈ (a,b)，使得f'(c) = 0。这一步不需要额外证明，而是直接应用定理得出的结论。

问题3：在后续题目中，如何判断函数的单调性？

题目通常会进一步问“证明在(a,b)内f(x)恒大于或小于某个值”，这时就需要结合f'(x)的符号来判断。例如，如果题目问“证明在(a,b)内f(x) > 0”，那么我们需要证明f'(x)在(a,b)内恒大于0。根据罗尔定理已经知道存在c ∈ (a,b)，使得f'(c) = 0，接下来需要分析f'(x)在c两侧的符号。如果f'(x)在c左侧为正，在c右侧为正，那么f(x)在(a,b)内单调递增；反之，如果f'(x)在c左侧为负，在c右侧为负，那么f(x)在(a,b)内单调递减。这一步的关键在于，需要结合题目给出的额外条件（如f(x)的导数表达式）来分析，不能仅凭罗尔定理的结论进行推断。