考研数学武忠祥讲义核心考点深度解析与疑难突破

考研数学备考中，武忠祥老师的讲义因其系统性和深度备受考生青睐。然而，许多同学在学习过程中仍会遇到一些理解上的难点和计算上的困惑。本栏目将聚焦武忠祥讲义中的常见问题，通过详尽的解答帮助考生扫清障碍，深入掌握核心考点。无论是极限、微分方程还是多元函数的积分，我们都将提供贴近考情的解析，让学习过程更加高效。

问题一：如何准确理解函数极限的“ε-δ”定义？

很多同学在初次接触“ε-δ”定义时，往往感到抽象难以把握。其实，这个定义的核心在于用数学语言精确描述“无限接近”这一概念。具体来说，当我们说“当x趋近于a时，f(x)趋近于A”，意味着对任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜x-a＜δ时，f(x)-A＜ε恒成立。这里的关键在于ε的任意性——无论多么小的ε都能找到对应的δ，而δ则依赖于ε的大小。例如，在证明lim(x→2)(x+1)=3时，任取ε>0，取δ=ε，则当x-2＜δ时，(x+1)-3＜ε成立。理解这个定义时，可以多结合几何直观，想象ε为x轴上a点附近的宽度，δ为a点左侧右侧的宽度，二者之间的动态关系能帮助加深理解。

问题二：多元函数微分中，偏导数存在是否一定连续？

这是一个经常被误答的问题。根据定义，偏导数存在并不能保证函数连续。举个典型的反例：设f(x,y)＝{y3/(x2+y2), (x,y)≠(0,0)；0, (x,y)＝(0,0)。在原点处，f对x的偏导数为f_x(0,0)＝lim_{h→0