数学公理

数学公理是数学理论体系中的基本假设，它们是无需证明的、自明的真理。以下是一些常见的数学公理：

1. 欧几里得几何的公理：

公理1：通过任意两点可以画一条直线。

公理2：直线上的两点之间，有且只有一条直线。

公理3：直线可以无限延长。

公理4：圆的直径是圆的最长弦。

公理5（平行公理）：在平面内，通过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

2. 实数公理：

公理1：实数集是完备的，即每一个非空有上确界（上界）的实数集都有一个上确界。

公理2：实数集在加法和乘法下是交换的、结合的，并且满足分配律。

公理3：存在加法单位元（0）和乘法单位元（1）。

公理4：对于任意实数a，存在加法逆元（-a）。

公理5：对于任意非零实数a，存在乘法逆元（1/a）。

3. 集合论公理（例如，Zermelo-Fraenkel集合论）：

公理1：存在一个空集。

公理2：每一个集合的元素都是集合。

公理3：集合的并集和交集都是集合。

公理4：选择公理：对于任意集合族，存在一个选择函数，使得对于每一个集合，该函数都选择一个元素。

公理5：替换公理：如果对于任意对象x，存在一个公式φ(x)使得对于所有满足φ(x)的对象y，集合A中的元素y都在集合B中，那么集合B也在集合A中。

这些公理构成了数学理论的基础，是后续数学推理和证明的出发点。